Systemy Lindenmayera są drugim rodzajem fraktali (po układach iterowanych odwzorowań), które szczególnie mnie zaciekawiły. Między innymi z powodu ich związku z lingwistyką matematyczną. Istotę L-Systemów dobrze oddaje cytat z ,,Automata, Languages, Development'':
The development of an organism [...] may be considered as the execution of a ,,developmental program'' present in the fertilized egg. The cellularity of higher organisms and their DNA components force us to consider developing organism as dynamic collections of appropriately programmed finite automata. A central task of developmental biology is to discover the underlying algorithm from the course of development.-- A. Lindenmayer, G. Rozenberg
Kod źródłowy appletu w Javie można znaleźć w moim repozytorium na github: lsystems2005.
Wielowątkowość pozwala w naturalny sposób modelować współbieżny podział komórek w żywym organiźmie. Ta wersja apletu działa właśnie w ten sposób, wykorzystując synchronizację pomiędzy wątkami za pomocą semaforów.
L-Systemy są ściśle związane z zagadnieniami lingwistyki matematycznej. Zasadniczą różnicą pomiędzy formalizmem bezkontekstowych gramatyk generacyjnych Chomsky'ego a systemem Lindenmayera jest sposób podstawiania produkcji. W gramatykach Chomsky'ego symbole są zastępowane sekwencyjnie, podczas gdy w L-Systemach wszystkie symbole w danym napisie są zastępowane jednocześnie. Odzwierciedla to współbieżny podział komórek w żywym organiźmie. Z tego względu istnieją języki generowane przez bezkontekstowe L-Systemy, które nie mogą być wygenerowane przez bezkontekstowe gramatyki Chomsky'ego.
Interpreter łańcucha symboli, uzyskanego przez cykl podstawień, opiera się na wprowadzonej przez S.Paperta idei grafiki żółwia.
W wielu publikacjach dotyczących L-Systemów i ich analogii
do dzieł przyrody jest przywoływany rozwój komórek sinicy
z gatunku Anabaena Catenula.
Ich podział można bardzo prosto opisać za pomocą dwóch reguł
produkcji. Występują tu dwa rodzaje komórek:
A (
) i B (
).
Długość obydwu rodzajów komórek zwiększa się w stałym tempie.
Po przekroczeniu pewnej długości komórka A dzieli się na dwie części:
mniejszą - kopię samej siebie i większą - komórkę typu B.
Komórka B dzieli się na część większą - komórkę typu A, i mniejszą
- kopię samej siebie.
A3→A1B2,
B3→A2B1.
Rozwój komórek glonu Anabaena Catenula. (Kod w PHP)
W moim programie zbiór rozpoznawanych symboli przedstawia poniższa tabela. Jest to mocno uproszczona wersja tablicy symboli podanej w The Algorithmic Beauty of Plants. Istnieje wiele mniej lub bardziej rozbudowanych modyfikacji tego języka w zależności od konkretnego programu badajacego L-Systemy. Stosowane są różne oznaczenia na zmianę kąta o dowolną wartość lub koloru na dowolny spośród palety (np. C<n> lub C+<n>)
| F | krok naprzód, rysuj |
| f | krok naprzód, bez rysowania |
| + | obrót w lewo |
| - | obrót w prawo |
| [ | stan na stos |
| ] | użyj stanu zdjętego ze stosu |
| < | poprzedni kolor |
| > | następny kolor |
| * | pomnożenie długości kroku przez czynnik standardowy |
| / | podzielenie długości kroku przez czynnik standardowy |
| ( | [* |
| ) | *] |
Poniżej znajduje się kilkadziesiąt L-Systemów, których parametry znalazłem głównie w sieci. Wszystkie te L-Systemy są zawarte w moim programie. Przełączenia kolorów dobierałem według wyczucia. Jak się okazuje, jest to zupełnie proste po kilku doświadczeniach. Ważne jest, aby po zmianie koloru i wejścia w gałąź (czyli podstawieniu produkcji), powrócić do koloru początkowego.
Ciekawe rezultaty można uzyskać, wprowadzając element losowy
do L-Systemu. Uzyskamy wówczas niedeterministyczny układ,
którego rezultatem mogą być takie rośliny jak na rysunku obok.
F → F[+F]F[-F]F P(F) = 1/3
F → F[+F]F P(F) = 1/3
F → F[-F]F P(F) = 1/3
Drzewka na poniższej serii obrazów to L-System o pięciu różnych wartościach współczynnika standardowego.
Poniższe dwa obrazy zostały wygenerowane moimi dwoma różnymi programami. Drzewo po lewej stronie poniżej zostało wygenerowane przez L-System, natomiast drzewo po prawej – przez układ czterech soczewek KWR. Obydwa mechanizmy równie mocno świadczą o fraktalnej geometrii przyrody.
Kolejna konstrukcja, którą można uzyskać przez KWR, dużo bardziej znana w tamtej postaci.
Drugi z poniższych smoków jest bardzo podobny do smoka Hartera-Heighwaya.
Oto zagadnienia związane z L-Systemami, którymi chciałbym się jeszcze zająć, a których tu nie opisałem: