powrót do strony głównej >>

Różne inne fraktale...

Copyright © 2004   Robert Nowotniak

Granice basenów przyciągania

Uzyskanie takiego fraktala polega na rozwiązaniu równania zespolonego W(z): zn - 1 = 0 iteracyjną metodą Newtona. Zbiory przyciągania są ustalane w zależności od tego, do którego z pierwiastków, atraktorów dąży ciąg przybliżeń rozpoczynający się od kolejnych punktów płaszczyzny.

Współrzędna danego punktu p=(x, y) stanowi pierwszy wyraz ciągu (zn) przybliżeń pierwiastków równania. Taki ciąg jest określony jako:

Natężenie barwy w owym punkcie p zależy od ilości n początkowych wyrazów ciągu (zn) potrzebnych, by został spełniony warunek f(zn) ≤ ε, gdzie ε jest określoną dokładnością. Najjaśniejsze punkty tworzą zbiór Julii odwzorowania W(z). Taka sytuacja jest podobna do modelu fizycznego, w którym namagnesowane wahadło porusza się nad trzema symetrycznie ułożonymi pod nim magnesami. Jest jasne, że takim przypadkiem rządzi chaos.

Czy to nie jest fascynujące, jak powyższe rysunki przedstawiają przenikające się ciągi przybliżeń prostego równania?


Zbiór Mandelbrota

Oto ten najbardziej sztandarowy fraktal.
Pytanie: Czy to zostało wynalezione czy też odkryte?! Wierzę w tę drugą opcję. Więc to, co widzisz poniżej, istniało od zawsze, ale niedawno dowiedzieliśmy się o tego istnieniu.

Zbiór dla wielomianu z2 + c


Zbiór dla wielomianu z3 + c

Zbiór Mandelbrota to zbiór wartości parametru c, dla których zbiór Julii wielomianu W(z) = z2 + c jest spójny. Czyli zbiory Julii i Mandelbrota mają się do siebie w następujący sposób: W przypadku zbioru Mandelbrota rozpatrywany ciąg rozpoczyna się od wyrazu 0. Zmienia się parametr c, zgodnie z aktualnym punktem płaszczyzny. Dla zbioru Julii parametr c jest stały. Współrzędne aktualnego punktu płaszczyzny są używane jako pierwszy wyraz ciągu (z0).

Na serii poniższych obrazków możemy zaobserwować, jak spójność zbioru Julii (prawa kolumna, kolor czarny) decyduje o tym, czy badany punkt jest uciekinierem czy więźniem zbioru Mandelbrota.






Gąbka Mengera

Ten fraktal, jak łatwo zauważyć, jest uogólnieniem dywanu Sierpińskiego na przestrzeń trójwymiarową. Poniższe obrazki pokazują cztery pierwsze iteracje tej konstrukcji.
Kod źródłowy w povrayu.

Julia 3D

Oto trójwymiarowy przekrój (niejako ,,plaster'') zbioru Julii w czterowymiarowej przestrzeni kwaternionów. Zbiory Julii i Fatou stanowią brzegi basenów przyciągania funkcji zespolonych.


Fraktalne płomienie (Fractal Flames)

Fraktale tego typu należą do klasy IFS (Systemy Funkcji Iterowanych), ale występuje w nich kilka uogólnień. Używane odwzorowania nie muszą być odwzorowaniami afinicznymi (złożeniami odwzorowań liniowych i translacji). Dodatkowo występują tu złożenia z funkcjami trygonometrycznymi i wymiernymi. W odróżnieniu od klasycznej Gry w chaos stan punktu przyjmuje więcej niż dwie wartości. Rzeczywiste natężenie koloru jest określane za pomocą funkcji logarytmicznej, w przeciwnym razie natężenie niewielu punktów byłoby wiele rzędów wielkości większe niż natężenie na całej powierzchni. Barwa punktu jest uzależniona od aktualnie wybranego odwzorowania w danym cyklu iteracji.



DLA – Agregacja Limitowana Dyfuzją

Agregacja limitowana dyfuzją jest zjawiskiem prostym dla komputerowego modelowania (dla dużych obszarów niekoniecznie obliczeniowo). Odpowiada to doświadczeniu, w którym jony cynku poruszają się chaotycznie, zgodnie z ruchami Browna w roztworze elektrolitu i gromadzą, tworząc drzewiaste struktury.
Prosty kod źródłowy w Javie (rysowanie bez żadnej optymalizacji): DLA.java.


Bifurkacje Feigenbauma





Copyright © Robert Nowotniak
3 października 2004